Facultad de Ingeniería y Ciencias 
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Acta de Correcciones al Proyecto de Grado 
Matemáticas Aplicadas 

 
 
 
 
Fecha:  1 de marzo de 2023 

 

 
Autores: RAFAEL SANTIAGO BEDOYA PAREDES 
 
 
 
Nombre del Proyecto de Grado: OSCILACIONES PERIÓDICAS SIMÉTRICAS EN 
MEMS TIPO PEINE 

 

 
 
 
 
Director:  DANIEL ELÍAS NÚÑEZ  

 
 

Como indica el artículo 2.27 de las Directrices de Trabajo de Grado, he verificado 

que los estudiantes indicados arriba han implementado todas las correcciones 

que los Jurados del Proyecto de Grado definieron que se efectuaran, como consta 

en el Acta de Calificación correspondiente. 

 

 

 

_____________________________________        

Firma Director del Proyecto de Grado  

 

 



Nota de Aceptación

Aprobado por el Comité de Trabajo de Grado
en cumplimiento de los requisitos exigidos por la 
Pontificia Universidad Javeriana para optar el 
título de Profesional en Matemáticas Aplicadas.

_______________________________________
Hernán Camilo Rocha Niño

Decano de la Facultad de Ingeniería y Ciencias

________________________________________
Diana Haidive Bueno Carreño

Directora Carrera de Matemáticas Aplicadas

___________________________________
Daniel Núñez

Director(a) Trabajo

______________________________ ______________________________
       Carlos Ramírez Ovalle                                       Andrés Felipe Amador

                    Jurado 1            Jurado 2



Santiago de Cali, febrero 2 de 2023. 

 

 

Señores  

Matemáticas Aplicadas 

Pontificia Universidad Javeriana Cali 

 

Respetados Señores: 

 

Con la presente deseo manifestar que DIRIGÍ el proyecto de grado titulado “Oscilaciones 

Periódicas Simétricas en MEMS tipo Peine” presentado por RAFAEL SANTIAGO BEDOYA PAREDES. 

 

Cordialmente, 

 

 

 

Daniel Nuñez 



Proyecto Aplicado
Oscilaciones Periódicas Simétricas en MEMS

tipo peine

Rafael Santiago Bedoya

2022



2



Resumen

Este proyecto realiza una breve descripción de los dispositivos Micro-electro
mecánicos tipo peine y estudia el movimiento de un dispositivo de tipo lineal.
Para ello utiliza elementos sencillos tales como lo es la teoŕıa de comparación
de Sturm y las proposiciones de Rafael Ortega diseñadas para el estudio de
cuerpos celestes.
De esta manera este documento presenta un análisis realizado con elementos
teóricos sencillos de problemas que generalmente son analizados con herra-
mientas de alta complejidad y presenta de forma aplicada y clara, un proce-
dimiento para abarcar el estudio del movimiento de este tipo de dispositivos
mostrando un claro enfoque aplicado sin descuidar en ningún momento los
fundamentos teóricos que hacen posible tal estudio.

Abstract

This project shows a brief description of the movement equation of lineal
Michro-electro mechanical combdrive finger devices. In order to do that, it
uses simple elements such as: Sturm comparison theory and the propositions
made by Rafael Ortega for the studies of celestial bodies.
On this way, this document present’s an analysis with simple theoretical
elements for problems that are generally analized using more complex tools.
It presents in a clear and applied style a procedure to study these type of
devices with an appied focus without renlinquishing the theoritical elements
that makes possible such studies.

3



Índice general

0.1 Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Fundamentos Teóricos 11
1.1 Teorema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.1 Conclusiones directas del teorema de Sturm . . . . . . 13
1.1.2 Conteo de ceros para dispositivos tipo peine . . . . . . 15

2 Principio de Ortega 23
2.1 Proposiciones de R. Ortega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Un ejemplo. El columpio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Oscilaciones periódicas impares en MEMS tipo peine 37
3.1 Análisis de equilibrio en un dispositivo tipo peine con voltaje

constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Método de truncamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Simulaciones y resultados numéricos 51
4.1 Dispositivo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Dispositivo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Dispositivo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Revisión de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4



Introducción

Desde la introducción del termino MEMS (Michro Electromechanical Sys-
tems), la evolución y aplicación de estos sistemas en diversos campos ha
evolucionado a entornos dif́ıciles de concebir inicialmente.

El potencial de maquinas muy pequeñas como los MEMS fue divisado incluso
desde antes que existiera una tecnoloǵıa capaz de fabricarlos eficientemente
como se puede ver en la conferencia sobre miniaturización del f́ısico teórico
Feynman en 1959 [4]. Sin embargo estos dispositivos tendŕıan que esperar
décadas hasta que pudieran fabricarse utilizando variaciones de la tecnoloǵıa
de fabricación de circuitos integrados en la decada de 1970.

Aśı mismo debido a la aplicabilidad de estos dispositivos y la complejidad de
sus expresiones matemáticas han sido también de interés para las matemáti-
cas aplicadas desde hace aproximadamente 20 años como se puede observar
en los trabajos de [3] y [14]. Espećıficamente el movimiento oscilatorio de
estos dispositivos puede ser estudiado por medio de sistemas de ecuaciones
diferenciales de segundo orden. Aśı se han estudiado las soluciones periódicas
de estos sistemas y su simetŕıa en art́ıculos tales como el análisis de estabili-
dad realizado por [11] en 2019 al igual que diversos trabajos recientes como
los encontrados en [6], [5] y [7].

Este estudio analizará las soluciones periódicas impares utilizando el método
de Ortega [13] el cual ofrece un enfoque diferente a los estudios mencionados
anteriormente y permite su estudio utilizando elementos teóricos más senci-
llos. Este método no fue diseñado para ser aplicado en los modelos de los
MEMS tipo peine, y nace más bien en un contexto de problemas de Mecáni-
ca Celeste. Aśı de manera natural cabe preguntarse si este principio puede
adaptarse a ecuaciones diferenciales con singularidades como lo es la ecua-
ción de un MEMS tipo peine y cuáles seŕıan las condiciones que permitiŕıan
una tal extensión al ámbito de los dispositivos tipo peine y sus implicaciones
para principios de diseño.

5



6 ÍNDICE GENERAL

0.1. Planteamiento del problema

Han pasado ya varias décadas desde el descubrimiento y desarrollo de sis-
temas micro electro mecánicos. Esta tecnoloǵıa ha llegado a un nivel de
madurez suficiente para ser utilizada en aplicaciones que van desde sensores
de presión en veh́ıculos, micrófonos en los celulares, sensores de inercia en los
v́ıdeo juegos, entre otros [15].

Sin embargo, a ráız de la evolución de estos dispositivos, cient́ıficos de diversas
disciplinas buscan colaborar e innovar en soluciones únicas y más eficientes
para lograr un uso más eficiente y estable de estos dispositivos en sus diversas
aplicaciones.

Para ello esta investigación se centrará en el movimiento lateral de los dis-
positivos micro electro mecánicos de tipo peine.

En la ilustración anterior se pueden observar las distintas componentes que
conforman este tipo de dispositivos, en el cual nos vamos a centrar en el
movimiento del electrodo central entre las dos placas. El movimiento descrito
en esta gráfica es conocido como movimiento lateral y es gobernado por la
siguiente ecuación de movimiento:

mx′′ + kx =
εLV 2

AC

2m

(
1

(d− x)2
− 1

(d+ x)2

)
,

d : Distancia entre el diente y las placas en reposo.

m : Masa del electrodo central o diente.

ε : Constante dieléctrica en el vaćıo.

L : Longitud de la porción del diente que interactúa con las placas.

VAC : Entrada de voltaje



0.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 7

Por medio de un proceso de adimensionalización[15],[11] eligiendo unidades
adecuadas de tiempo y longitud, es posible obtener la siguiente EDO equi-
valente:

x′′ + x

(
1− 4βv2(t)

(1− x2)2
)

= 0 (−1 < x < 1), (1)

donde hemos introducido un voltaje periódico de entrada de la forma (co-
rriente AC-DC) :

v(t) = v0 + δp(t)

con p definido por:
p(t) = cos(ωt)

Sin embargo, los métodos para encontrar soluciones periódicas para sistemas
no lineales no son procesos triviales. Aśı mismo, la ecuación anterior presenta
simetŕıas o reversibilidades en sus variables, simetŕıas de tipo impar en x y
par en t. Estas simetŕıas permiten reducir el estudio de soluciones T periódi-
cas impares a un problema de contorno tipo Dirichlet x(0) = x(T/2) = 0. ¿Es
posible encontrar soluciones periódicas impares para la ecuación del MEMS
aludido con un número prescrito de ceros en medio periodo?. ¿Cómo carac-
terizar sus propiedades de estabilidad en caso de que existan?
En este proyecto queremos avanzar en la primera interrogante. Puesto que los
métodos de existencia de soluciones periódicas son de variada complejidad,
técnicas como Funciones Globales Impĺıcitas en espacios de Banach [8], teoŕıa
de grado topológico [6], sub y super soluciones [11], métodos variacionales
[12]. Queremos explorar una respuesta que use técnicas sencillas y que al
mismo tiempo permita el conteo de ceros.
Esto nos lleva naturalmente a las observaciones de Ortega en [13], por otra
parte, este principio sólo es válido para ciertas no linealidades. Por ejemplo
el dispositivo tipo peine descrito en [15] para un voltaje par, no satisface las
hipótesis de Ortega en virtud de las singularidades que aparecen y nos pre-
guntamos lo siguiente: ¿son validas las conclusiones del principio en cuestión
para este MEMS tipo peine con voltaje con simetŕıa par/impar? ¿hasta que
punto son válidas las conclusiones del principio de Ortega en este modelo?,
¿es posible validar esto numéricamente?. Con estos interrogantes se plan-
tea el siguiente trabajo de investigación y empieza la revisión del material
adecuado para dar solución a cada una de ellas.
De esta manera el siguiente documento tratará primero los fundamentos
teóricos empezando por una revisión del teorema de Sturm que se utilizará
para posteriormente hacer una revisión detallada del método propuesto por



8 ÍNDICE GENERAL

Rafael Ortega [13], posteriormente veremos una aplicación sencilla de los
principios estudiados en una instancia simple y finalizaremos revisando las
condiciones necesarias para la aplicación del método de Ortega en dispositivos
micro-electromecánicos aśı como también su aplicación en algunas instancias.



Objetivos

Objetivos Generales

Demostrar y aplicar el principio de Ortega para osciladores con simetŕıa
periódicamente forzados a algunos osciladores mecánicos clásicos.

Validar numéricamente el principio de Ortega para osciladores micro
electromecánicos de tipo peine.

Objetivos Espećıficos

Estudiar la teoŕıa de comparación de Sturm para osciladores lineales.

Caracterizar el comportamiento de los ceros de una sucesión de fun-
ciones uniformemente convergente sobre un intervalo compacto en la
topoloǵıa C1.

Determinar las propiedades de la función número de ceros de un os-
cilador no lineal que cumple las hipótesis de Ortega, espećıficamente
determinar la magnitud de los saltos y su carácter de monotońıa.

Reducir un problema de contorno periódico bajo simetŕıas a un pro-
blema de Dirichlet.

Desarrollar simulaciones para el problema de Dirichlet asociado al os-
cilador tipo peine con el método de diferencias finitas.

Utilizar el método numérico del disparo para resolver el problema de
Dirichlet asociado al oscilador tipo peine.

9



10 ÍNDICE GENERAL



Caṕıtulo 1

Fundamentos Teóricos

Definición de abreviatura
Sean q1, q2 funciones continuas. Se dice que q1 << q2 si y solo si q1 ≤ q2 y q1
no es idéntica a q2.

1.1. Teorema de Sturm

Sean u, v soluciones reales no triviales de:

u′′ + q(t)u = 0 (1.1)

v′′ + q1(t)v = 0 (1.2)

Donde q(t), q1(t) son continuas para todo t. Si t1 < t2 son ceros consecutivos
de u entonces v se anula al menos una vez en (t1, t2) a menos que en ese
intervalo q(t) ≡ q1(t) y v(t) ≡ ku(t), para k ∈ R
Demostración:
Inicialmente multipliquemos la ecuación 1.1 y la ecuación 1.2 respectivamente
dando como resultado las siguientes dos ecuaciones:

u′′v + q(t)uv = 0, (1.3)

uv′′ + q1(t)uv = 0, (1.4)

Posteriormente se calcula la diferencia de las ecuaciones (1.3),(1.4)

u′′v + q(t)uv − uv′′ − q1(t)uv = 0,

11



12 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Reorganizando:

(u′′v − uv′′) + (q(t)− q1(t))uv = 0,

Integrando: ∫ t2

t1

u′′v − uv′′ + (q(t)− q1(t))uvdt,∫ t2

t1

u′′v − uv′′dt =

∫ t2

t1

(q1(t)− q(t))uvdt, (1.5)

Ahora, sin perdida de generalidad se puede suponer que:

u(t) > 0, ∀t ∈ (t1, t2)

Dado que t1, t2 son ceros consecutivos y u(t) continua.
tomando la ecuación (1.5) se procede a realizar la integración de la expresión:∫ t2

t1

u′′v − uv′′dt = 0

Integrando por partes se obtiene la expresión:

u′v|t2t1 −
∫ t2

t1

u′v′dt− uv′|t2t1 +

∫ t2

t1

u′v′dt

Simplificando:

u′v|t2t1 − uv′|t2t1
Dado que t1, t2 son ceros de u entonces uv′|t2t1 = 0 entonces se forma la
ecuación:

u′v|t2t1 =

∫ t2

t1

(q1(t)− q(t))u(t)v(t)dt (1.6)

Dado que u(t) > 0 en el intervalo y t1, t2 son ceros consecutivos entonces,
u′(t1) ≥ 0 y u′(t2) ≤ 0
Ahora por contradicción supongamos que v(t) no se anula, para fijar ideas
supongamos que v(t) > 0, ∀t ∈ (t1, t2), reescribiendo la ecuación (1.6)

u′(t2)v(t2)− u′(t1)v(t1) =

∫ t2

t1

(q1(t)− q(t))uvdt



1.1. TEOREMA DE STURM 13

Analizando la expresión: u′(t2) < 0, por unicidad de condiciones iniciales
puesto u = 0 es solución. v(t2) ≥ 0 por tanto:

u′(t2)v(t2) ≤ 0

Igualmente: u′(t1) > 0, v(t1) ≥ 0 por tanto:

−u′(t1)v(t1) ≤ 0

Por tanto:
u′(t2)v(t2)− u′(t1)v(t1) ≤ 0

Dado que: ∫ t2

t1

(q1(t)− q(t))uvdt > 0

Dado que q1 >> q
es imposible entonces que v(t) > 0∀t ∈ (t1, t2) lo cual implica que ∃t3 ∈
(t1, t2) tal que v(t3) = 0

1.1.1. Conclusiones directas del teorema de Sturm

Consideraremos c, k > 0 tal que c2 << q(t) << k2 en [a, b] y sea u solución
no trivial de:

u′′ + q(t)u = 0

Estimación de la distancia entre ceros consecutivos:
Si t1, t2 son ceros consecutivos de u en [a, b] entonces:

π

k
≤ t2 − t1 ≤

π

c

Demostración:
Consideremos la ecuación

z′′ + k2z = 0,

y una solución particular con un cero en t2:

z = sen(k(t− t2))

Dado que k2 >> q(t) por teorema de comparación de Sturm se sigue que en
el intervalo ∃ τ ∈ (t1, t2) tal que τ es cero de z ubicado en el punto:

τ = t2 −
π

k



14 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Por lo tanto:

t1 < t2 −
π

k
< t2

Reacomodando la expresión:

π

k
< t2 − t1 (1.7)

Consideremos ahora

y′′ + c2y = 0,

y la solución que se anula en t2

y = sen(c(t− t2))

Dado que q(t) >> c2 entonces por teorema de Sturm sabemos que en el
intervalo (t2 − π

c
, t2) existe un cero t1 cero de u tal que:

t2 −
π

c
< t1 < t2

Reorganizando:

t2 − t1 <
π

c
(1.8)

Por tanto utilizando las expresiones (1.7) y (1.8):

π

k
< t2 − t1 <

π

c
(1.9)

Estimación del número de ceros

Sea u solución no trivial tal que u(t1) = u(t2) = 0 tal que u tiene n ceros
consecutivos en (t1, t2). Entonces

c(t2 − t1)
π

< n+ 1 <
k(t2 − t1)

π
,

Demostración: Por el resultado de la expresión (1.9) sabemos que la distancia
d entre dos ceros consecutivos está acotada por la expresión:

π

k
< d <

π

c
,



1.1. TEOREMA DE STURM 15

Como u(t1) = u(t2) = 0 y u posee n ceros en (t1, t2) entonces sumando los
intervalos de ceros consecutivos (que son n+ 1 en total) se obtiene:

(n+ 1)
π

k
≤ t2 − t1 ≤ (n+ 1)

π

c
,

Reordenando la expresión:

c(t2 − t1)
π

≤ n+ 1 ≤ k(t2 − t1)
π

,

1.1.2. Conteo de ceros para dispositivos tipo peine

Consideremos la ecuación adimensional de un dispositivo tipo peine

x′′ + x(1− 4βV 2(t)

(1− x2)2 ) = 0, (1.10)

donde |x| < 1 , y V (t) es un voltaje T -periódico continuo.
El propósito de esta sección será estimar las oscilaciones o vaivenes del dis-
positivo MEMS tipo peine que estamos modelando. Esto se medirá con una
estimación del número de ceros promedios de las soluciones no triviales en
el intervalo (0, T/2). Comenzaremos con la linealización en x = 0 o ecuación
variacional en x = 0 que es la que nos dará una cota superior de la medida
de la oscilación.
Linealizando (1.10) en x = 0 obtenemos la ecuación variacional:

x′′ + (1− 4βV (t)2)x = 0 (1.11)

Sea φ(t) la solución de la ecuación linealizada (1.11) con condiciones iniciales
φ(0) = 0, φ′(0) = 1. Vamos a estimar el número de ceros de esta solución
canónica en (0, T/2), T = 2π/ω. Llamaremos a este número ν0. El número
ν0 está asociado al peŕıodo que se tome para el voltaje; aśı podŕıamos tomar
peŕıodos de la forma kT con k entero positivo. En este caso denotaremos el
número de ceros interiores al intervalo (0, kT/2) por ν0(k).
De esta manera debemos encontrar el máximo y mı́nimo de la expresión
q(t) = 1 − 4βV (t)2 para aplicar el corolario del teorema de comparación
de Sturm. Recordar que la entrada de voltaje es la función V (t) definida
anteriormente en la Introducción como

V (t) = V0 + δp(t),



16 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

con p(t) = cos(ωt) de esta manera pmax = 1, pmin = −1. Por lo tanto los
valores extremos del voltaje son:

Vmax = V0 + δ, Vmin = V0 − δ

Asumiremos también que V0 > δ > 0, aśı trabajaremos con voltaje positivo.
Debemos acotar adecuadamente el oscilador:

c2 ≤ q(t) ≤ k2

Se puede observar que cuando V (t) es máximo el oscilador alcanza su mı́nimo,
de la misma manera cuando V (t) es mı́nimo alcanza su máximo. Por tanto

1− 4βV 2
max << q(t) << 1− 4βV 2

min

Por tanto tenemos las siguientes cotas sobre el coeficiente q(t):

k2 := 1− 4β(V0 − δ)2 (1.12)

c2 := 1− 4β(V0 + δ)2 (1.13)

Supondremos también 1 − 4βV 2
max > 0. Aplicando el corolario del Teorema

de comparación de Sturm sabemos que dados t1, t2 ceros consecutivos de la
solución φ(t) no trivial de (1.11) entonces

π

k
< t2 − t1 <

π

c

Ahora por condiciones iniciales de la ecuación (1.11) sabemos que:

x(0) = 0

x′(0) = 1

Tomaremos t1 = 0 como cero inicial de referencia. Dado que t1 = 0, ahora
deseamos conocer una estimación del número de ceros en el intervalo (0, π

ω
).

Necesariamente ω ≥ c, de lo contrario el oscilador más pequeño tendŕıa un
cero no trivial antes de π/c. Sin embargo suponiendo π

ω
> π

c
, y comparando

las ecuaciones diferenciales:

x′′(t) + q(t)x = 0

x′′(t) + c2x = 0 (1.14)



1.1. TEOREMA DE STURM 17

Dado que la expresión x′′(t) + c2x = 0 representa un oscilador mas lento
entonces fijando t1 = 0 sabemos que el segundo cero de la solución de la
expresión (1.14) que inicia en t1 = 0, i.e., x(t) = sin(ct), está exactamente
en π

c
. Por otra parte, en el intervalo (0, π

c
) existe al menos un cero de toda

solución no trivial de (1.11). Notése que existe un entero m tal que:

mπ

c
≤ π

ω
<

(m+ 1)π

c
o

m

c
≤ 1

ω
<
m+ 1

c

m ≤ c

ω
< m+ 1

Por lo tanto

m :=
⌊ c
ω

⌋
(1.15)

Nótese que entre dos ceros del oscilador (1.14) existe al menos un cero del
oscilador (1.11), entonces se puede afirmar que el oscilador (1.11) tiene al
menos m ceros interiores en el intervalo (0, π

ω
)

Por tanto sabemos que el número n de ceros interiores a [0, π/w] de las
soluciones no triviales de la ecuación (1.11) está acotado inferiormente por
m: m ≤ n.
Ahora analicemos la expresión

x′′(t) + k2x = 0 (1.16)

Como (1.16) representa un oscilador más rápido que (1.11), entonces entre
dos ceros consecutivos de toda solución no trivial de (1.11) existe al menos un
cero de toda solución no trivial de (1.16). Sabemos también que el primer cero
positivo de la solución sin(kt) de (1.16) está exactamente en π

k
. Análogamente

al caso anterior sabemos que existe un entero m′ tal que:

m′π

k
≤ π

ω
<

(m′ + 1)π

k

m′

k
≤ 1

ω
<
m′ + 1

k

m′ ≤ k

ω
< m′ + 1



18 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Por tanto

m′ =

⌊
k

ω

⌋
Utilizando m,m′ entonces se puede delimitar el número de ceros de φ de la
siguiente manera:

m ≤ ν0 ≤ m′⌊ c
ω

⌋
≤ ν0 ≤

⌊
k

ω

⌋
Sustituyendo c, k se obtiene la relación⌊√

1− 4β(V0 + δ)2

ω

⌋
≤ ν0 ≤

⌊√
1− 4β(V0 − δ)2

ω

⌋
(1.17)

Se obtiene aśı una estimación del número de ceros interiores. Hemos obtenido
el siguiente resultado

Teorema 1.1.1. Dada una ecuación de la forma x′′ + F (t)x = 0, con F (t)
continua 2π/ω-periódica, entonces el número de ceros internos ν0 de una
solución periódica en el intervalo π

ω
esta limitado por:⌊√

Fmax
ω

⌋
≤ ν0 ≤

⌊√
Fmin
ω

⌋
Finalmente vamos a estimar la oscilación de la solución de la ecuación no
lineal (1.10). El número de ceros de toda solución no trivial de esta ecuación
en (0, T/2) estará acotado por el número de ceros de φ en (0, T/2) al cual
ya se ha estimado en (1.17). Toda solución u = x(t) del problema no lineal
(1.10) puede verse como solución de una ecuación lineal de la forma

ü+ a(t)u = 0

con

a(t) = 1− 4βV 2(t)

(1− x(t)2)2

Además como a(t) << 1− 4βV 2() =: a0(t)) entonces del Teorema de Sturm
aplicado a los osciladores x′′+a(t)x = 0 y x′′+a0(t)x se obtiene lo siguiente:



1.1. TEOREMA DE STURM 19

Lemma 1.1.2. Sea k un entero positivo. Entonces el número de ceros de toda
solución no trivial del oscilador no lineal (1.10) en (0, kT/2) está acotado
por ν0(k), el número de ceros de la solución canónica φ en (0, kT/2) de la
ecuación variacional (1.11).

El siguiente lema técnico da cuenta del comportamiento del número de ceros
en un intervalo para una sucesión de funciones que converge en la C1−topoloǵıa.
Este resultado es clave para la demostración del Principio de Ortega y se
usará en el próximo caṕıtulo.

Lemma 1.1.3. Supongamos que fk es una sucesión de funciones de clase C1

en [0, L] que satisface fk(0) = 0 para cada k y tal que fk → f uniformemente
en [0, L], f ′k → f ′ uniformemente en [0, L] (convergencia en la C1-topoloǵıa),
para f de clase C1 en [0, L] con la propiedad:

f(x)2 + f ′(x)2 > 0, ∀x ∈ [0, L]

Entonces para un k lo suficientemente grande se cumple:

n(f) ≤ n(fk) ≤ n(f) + 1

n(f) denota el número de ceros de la función f en el intervalo (0, L). Si
además f(L) 6= 0 entonces n(fk) = n(f), ∀k ≥ k0, para cierto natural k0.

Demostración
Sea Cf = {c1, c2, . . . , cN} donde f(ci) = 0, ∀i ∈ {1, . . . , N} y N = n(f) en
]0, L[.
Por continuidad y dado que f ′(ci) 6= 0, existe un εi > 0 tal que f es estricta-
mente monótona en (ci−εi, ci+εi), esto implica que ci es el único cero de f en
ese pequeño intervalo. Aśı mismo dado que f(0) = 0 entonces por hipótesis
f ′(0) 6= 0, por tanto por continuidad de f’ existe una vecindad (0, ε0) donde
f es monótona creciente o decreciente.
Entonces sea:

Ω =
N⋃
i=1

(ci − εi, ci + εi) ∪ [0, ε0) ∪ (L− εN+1, L]

Aśı mismo se define:

ε = inf(|f(c1 − ε1)− f(c1 + ε1)|, ..., |f(cN − εN)− f(cN + εN)|)



20 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Como fk → f entonces ∃k tal que si n > k entonces:

|fn(x)− f(x)| < ε∀x ∈ (0, L)

Dado que f(0) = 0, entonces f ′(0) 6= 0) y:

inf(|f ′([0, ε])|) > 0

Aśı mismo por hipótesis f ′n → f ′ por lo cual ∃k tal que si n > k

|f ′n(x)− f ′(x)| < inf(|f ′([0, ε)|)

En el intervalo [0, ε0], de esta manera se conoce que f ′n no cambia de signo,
f ′n es estrictamente monótona y fn(x) 6= 0∀x ∈ [0, ε0].
Ahora tomemos el caso de los intervalos de la forma (ci− εi, ci + εi) sabemos
que:

sig(f ′(x)) = sig(f ′(ci))∀x ∈ (ci − εi, ci + εi)

Para tanto para un n suficientemente grande, fn es estrictamente monótona
lo cual implica que ci es su único cero.
Finalmente en el intervalo [L − εN+1, L] en caso que f(L) = 0 sabemos que
f ′(L) 6= 0 por hipótesis, y dado a la convergencia de funciones podemos
argumentar que

signo(f ′(x)) = signo(f ′(L))∀x ∈ [L− εN+1, L]

Por lo cual este es el único cero.
Finalmente en el caso que f(L) 6= 0 sabemos igualmente que fn → f unifor-
memente, por lo tanto |fn(x)−f(x)| < inf(|f(L−εN+1, L)|)∀x ∈ [L−εN+1, L]
y dado a que f no se anula en ese intervalo entonces fn no tiene ceros.
Aśı hemos demostrado que:

n(f) ≤ n(fk) ≤ n(f) + 1

En un intervalo dado cuando fk → f uniformemente y todas las funciones
son de clase C1.

Lemma 1.1.4. La solución general x(t, v) de la ecuación diferencial x′′ +
D(t, x)x) = 0 puede escribirse como

x(t, v) = vt−
∫ t

0

(t− s)D(s, x(s, v))x(s, v)ds



1.1. TEOREMA DE STURM 21

Demostración:
Recordando la fórmula de variación de parámetros sabemos que:

~X = φ(t)

(
x0
y0

)
+ φ(t)

∫ t

0

φ−1(s)~b(s)ds

d

dt
~X = A(t) ~X +~b(t)

φ(t)φ−1(s) = φ(t− s) = e(t−s)A

Dado que x(0) = 0 y x′(0) = v reescribimos la ecuación diferencial como el
sistema:

x′ = y

y′ = −xD(t, x)

entonces: (
x
y

)′
=

(
0 1
0 0

)(
x
y

)
+

(
0

−xD(t, x)

)
(
x
y

)
=

(
1 t
0 1

)(
0
v

)
+

(
1 t
0 1

)∫ t

0

(
1 −s
0 1

)(
0

−x(s)D(s, x(s))

)
ds

Donde finalmente obtenemos:

x(t, v) = vt−
∫ t

0

(t− s)D(s, x(s, v))x(s, v)ds



22 CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS



Caṕıtulo 2

Principio de Ortega

El método de Ortega es un procedimiento propuesto por Rafael Ortega con el
objetivo de resolver problemas relacionados con la mecánica celeste, en este
capitulo estudiaremos en detalle las proposiciones de Ortega con el objetivo
de aplicarlas en las ecuaciones diferenciales de segundo grado estudiadas en
este proyecto.
Encontrando aśı cómo es posible encontrar soluciones periódicas impares para
un sistema de ecuaciones que satisfacen las hipótesis de Ortega.

2.1. Proposiciones de R. Ortega

Sea la ecuación

z′′ +D(t, z)z = 0 (2.1)

donde D es una función de clase C1 en ambas variables, en el dominio t ∈
[−L,L] y z ∈ R que satisface las siguiente propiedades:

D(t, z) < D(t, 0), ∀z 6= 0 (2.2)

Se cumplen las siguientes simetŕıas:

D(t,−z) = D(t, z), D(−t, z) = D(t, z),∀(t, z) ∈ [−L,L]× R (2.3)

Asumiremos también que existe un C > 0 tal que

|zD(t, z)| ≤ C, ∀z ∈ R, ∀t ∈]0, L[. (2.4)

23



24 CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE ORTEGA

Esto implica que todas las soluciones son prolongables hasta t = L, pues el
campo vectorial que define el sistema asociado de primer orden tiene creci-
miento lineal.
El propósito de esta sección, es mostrar un principio debido a R. Ortega [13]
que permite resolver el problema de Dirichlet

z′′ + zD(t, z) = 0, x(0) = x(L) = 0 (2.5)

Este problema tiene sentido para todas las velocidades iniciales que podamos
fijar en virtud de la prolongabilidad hasta L de todas las soluciones.
El principio de Ortega encuentra soluciones del problema de Dirichlet con
enerǵıa cinética mı́nima, es decir, para velocidades iniciales mı́nimas que
hacen que el número de ceros en (0, L) no superen un entero dado N con
algunas condiciones adecuadas. Para estas velocidades el citado número de
ceros cambia en una unidad antes y después de ellas. Estas velocidades resuel-
ven entonces el problema de Dirichlet.Para explicar el principio con mayor
formalidad, haremos algunos apuntes y definiciones necesarias.
Sea z(t, v) la única solución de (2.1) con las condiciones iniciales z(0) = 0 y
z′(0) = v Aśı mismo como z = 0 es solución, por unicidad se deduce que si
z(t) es una solución no trivial de (2.1), y α ∈ [0, L] con z(α) = 0 entonces
z′(α) 6= 0. Esto significa que los ceros en el intervalo [0, L] de cualquier
solución no trivial son simples. Esto implica que existe un número finito de
ceros en el intervalo [0, L] de toda solución no trivial de (2.1).
Por tanto, podemos definir ν : R → Z+, ν(v) el número de ceros de z(t, v)
en el interva lo abierto ]0, L[. De forma más general es posible definir n(f) :
C1[a, b]→ N donde n(f) el número de ceros de f en ]a, b[.
Sea φ(t) la solución de la ecuación linealizada en z = 0:

z′′ +D(t, 0)z = 0 (2.6)

con las condiciones iniciales z(0) = 0, z′(0) = 1. Al número de ceros de φ en
el intervalo abierto ]0, L[ lo denotaremos por ν0 := ν0(L).

Lemma 2.1.1. Se verifica para la ecuación (2.1)

ν(v) ≤ ν0, ∀v 6= 0 (2.7)

Demostración. Nótese que η(t) = z(t, v) puede verse como una solución de la
ecuación diferencial lineal



2.1. PROPOSICIONES DE R. ORTEGA 25

η′′ + a(t)η = 0, (2.8)

donde a(t) := D(t, z(t, v)).Vamos ahora a comparar con el oscilador (2.6)
mediante la Teoŕıa de Comparación de Sturm.
Dado que por hipótesis D(t, z) < D(t, 0), ∀z 6= 0 entonces se puede concluir
que a(t) = D(t, z(t, v)) < D(t, 0) fuera de los ceros de z(t, v). Por lo tanto
a(t) << D(t, 0) En consecuencia, por el teorema de comparación de Sturm,
entre dos ceros consecutivos t1, t2 de la solución z(t, v) existe un t3 ∈]t1, t2[
tal que t3 es cero de φ a menos que en el intervalo ]t1, t2[ se cumpla que
a(t) ≡ D(t, 0), lo cual no es el caso. Por lo tanto:

ν(v) ≤ ν0.

Lemma 2.1.2. Dado ω 6= 0 existe δ > 0 dado que ν(ω) ≤ ν(v) ≤ ν(ω) + 1
si |ω − v| ≤ δ. Asumiendo que z(L, ω) 6= 0 entonces se cumple ν(ω) = ν(v)
si |ω − v| ≤ δ, es decir, ν(·) es localmente constante.

Demostración: Para demostrar este resultado consideremos una sucesión vk
que converge a ω.Aśı mismo, se define fk(t) := z(t, vk). Ahora, debido a la
continuidad y dependencia de las condiciones iniciales se obtiene que esta
sucesión es de clase C1 y converge uniformemente en la topoloǵıa C1 en
[0, L] a la función f(t) := z(t, ω) cuyos ceros son simples, i.e., fk → f ,
f ′k → f ′ uniformemente, en el intervalo [0, L]. Utilizando el resultado del lema
1 demostrado en el Apéndice A, entonces se concluye que ν(ω) ≤ ν(vk) ≤
ν(ω) + 1,∀k ∈ N. Tomando el ĺımite en la última desigualdad cuando k →
∞ se obtiene la desigualdad requerida. Esto finaliza la primera parte de la
prueba. Asumamos ahora que z(L, ω) 6= 0. Como f(L) 6= 0 podemos aplicar
ahora la parte final del lemma (1.1.3) para concluir que ν(vk) = n(fk) =
n(f) = ν(ω). Como la sucesión de velocidades vk era arbitraria y convergente
a ω, es inmediato concluir que la función ν(v) es localmente constante cerca
de ω. En efecto, razonado por el absurdo, suponemos que para todo δ > 0
existe vδ ∈ [ω−δ, ω+δ] tal que ν(vδ) 6= ν(ω), en particular tomando cada vez
δ = 1

k
, ∀k ∈ N tendŕıamos una sucesión de velocidades iniciales convergente

a ω, lo que contradice la última afirmación.

Lemma 2.1.3. Existe un v∗ > 0 tal que ν(v) = ν0 si |v| ≤ v∗

Demostración:



26 CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE ORTEGA

Retomemos la ecuación (2.8) con condiciones iniciales:

x(0, v) = 0

x′(0, v) = v

cuya solución la hemos denotado por x(t, v).
Sabemos del Teorema de diferenciabilidad respecto de condiciones iniciales
que x(t, v) es continua y diferenciable con respecto a t y v y que la función

z(t) :=
∂x

∂v
(t, 0)

es solución de la ecuación variacional

z′′ + a(t)z = 0

con condiciones iniciales z(0) = 0 y z′(0) = 1, donde se define a(t) al evaluar
x = 0 como:

a(t) :=
∂(xD(t, x))

∂x
= D(t, 0).

Pero z(t) = ∂x
∂v

(t, 0) = ĺımv→0
x(t,v)−x(t,0)

v
= ĺımv→0

x(t,v)
v

En primer lugar notar que el número de ceros de z(t) en ]0, L[ es por definición

ν0. Como fv := x(t,v)
v

converge uniformemente a z(t) en [0, L] en la topoloǵıa
C1 y los ceros de z(t) son no degenerados, entonces por el citado Lema el
número de ceros de fv es mayor o igual que ν0 para un v suficientemente
pequeño. Combinando con el lema 2.1.1 se alcanza la conclusión.

Lemma 2.1.4. Existe un v∗ > 0 tal que ν(v) = 0 si |v| ≥ v∗

En virtud del Lemma 1.1.4 se tiene que:

x(t, v) = vt−
∫ t

0

(t− s)D(s, x(s, v))x(s, v)ds (2.9)

Tomando valor absoluto en (2.9) podemos obtener la siguiente desigualdad:

|x(t, v)− vt| ≤
∫ t

0

|(t− s)D(s, x(s, v))x(s, v)||ds|

Ahora, sabemos por hipótesis que para un C > 0 apropiado se cumple:

|xD(t, x)| ≤ C, ∀(t, z) ∈ [0, L]× R



2.1. PROPOSICIONES DE R. ORTEGA 27

Por lo tanto combinando con la penúltima desigualdad se llega a

|x(t, v)− vt| ≤
∫ t

0

(t− s)Cds = Ct2/2

Aśı en [0, L] se tiene

|x(t, v)− vt| ≤ L2C

2

De forma similar y derivando bajo el signo de integral en (2.9) nos queda la
estimación

|x′(t, v)− v| = |
∫ t

0

D(s, x(s, v))x(s, v)ds|

Ahora al aplicar de nuevo la hipótesis de acotamiento es posible obtener:

|x′(t, v)− vt| ≤ LC

Consideremos ahora una sucesión arbitraria creciente no acotada vk. Luego

|x(t, vk)

vk
− t| ≤ L2C

2vk

Aśı como vk →∞ entonces L2C
2vk
→ 0, y se infiere que la sucesión de funciones

fk(t) := x(t,vk)
vk

converge uniformemente a la función f(t) = t en el intervalo

[0, L]. De la otra desigualdad se infiere que

|x
′(t, v)

vk
− 1| ≤ LC

vk

Entonces f ′k(t) converge uniformemente a f ′(t) = 1. Esto prueba que fk
converge uniformemente a f en la topoloǵıa C1[0, L] Como f tiene ceros no
degenerados y no se anula en L entonces una aplicación del Lema 1.1.4 nos
dice que el número de ceros de fk y de f en el interior del intervalo son
números idénticos para k grande, entonces son iguales a cero. Por lo tanto
ν(vk) = 0 para k grande. Como la sucesión vk fue arbitraria la conclusión
requerida se sigue fácilmente.

Teorema 2.1.5. Asúmase las hipótesis (2.2), (2.3) y (2.4). Entonces son
equivalentes:



28 CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE ORTEGA

El problema de Dirichlet

z′′ +D(t, z)z = 0, z(0) = z(L) = 0

tiene una solución con N ≥ 0 ceros en ]0, L[

N < ν0.

Demostración. Sea N ≥ 0 tal que N < ν0. Definamos

SN = {v ∈ (0, ∞) / ν(v) ≤ N}

Esto significa que SN corresponde a todos las velocidades iniciales que ini-
ciando en x = 0, producen un número de ceros no mayor a N en (0, L). Por
el lema 2.1.4 sabemos que SN es no vaćıo pues contiene grandes velocidades
v con ν(v) = 0 ≤ N. También SN está acotado inferiormente por 0; por lo
tanto en virtud del axioma de completitud podemos definir el número real
ωN := inf(SN).
Ahora, por el lema 2.1.3 sabemos que 0 no es un punto de acumulación en
SN , por lo cual ωN > 0. En efecto una sucesión de velocidades vn en SN
convergiendo a 0 daŕıa como resultado ν(vn) = ν0 > N para n grande, lo que
es contradictorio con el hecho de que las vn esten en SN .

Por definición de ı́nfimo existe una sucesión vk → ωN con vk > ωN y ν(vk) ≤
N . Ahora, por lema 2.1.2 sabemos que ν(vk) ≥ ν(ωN) a partir de un k lo
suficientemente grande, esto implica que ν(ωN) ≤ N lo cual significa que
ωN ∈ SN . Esto hace que ωN sea adicionalmente el mı́nimo del conjunto SN .

Ahora, tomemos velocidades cerca del ı́nfimo pero por la izquierda: 0 <
ωN − v < δ, donde δ es la constante del Lema 2.1.2. Como v no está en SN
entonces N < ν(v) ≤ ν(ωN) + 1 ≤ N + 1. Esto implica N − 1 < ν(ωN) ≤ N ,
y por lo tanto ν(ωN) = N .

En śıntesis, para v y w cerca de ωN con v < ωN < w se tiene que N + 1 ≤
ν(v) ≤ ν(ωN) + 1 = N + 1 aśı ν(v) = N + 1 y ν(w) ≤ N . Esto dice que
en ωN la función ν tiene un salto. En virtud del Lema 2.1.2 se deduce que
x(L, ωN) = 0. De lo contrario ν(v) seŕıa localmente constante cerca de ωN .
La solución x(t, ωN) es la solución buscada del problema de Dirichlet y tiene
exactamente N ceros en (0.L).
Ahora probaremos, utilizando teorema de comparación de Sturm, que estas
condiciones son aśı mismo condiciones necesarias. Sea z(t) = x(t, v) una



2.2. UN EJEMPLO. EL COLUMPIO 29

solución del problema de Dirichlet, z(0) = z(L) = 0 con N ceros en (0, L].
Aśı contabilizamos N + 2 ceros en el intervalo [0, L] y N + 1 sub-intervalos
entre ellos. Comparemos las ecuaciones:

z′′ +D(t, z)z = 0

y
ψ′′ +D(t, 0)ψ = 0

.
Por teorema de comparación de Sturm dado que D(t, 0) >> D(t, z(t)) ∀t ∈
[0, L] entonces por cada par de ceros consecutivos de z(t) existe siempre al
menos un cero de ψ, aśı aparecen al menos N + 1 ceros de ψ en el intervalo
[0.L]; por tanto N < ν0.

2.2. Un ejemplo. El columpio

En esta sección realizaremos una aplicación del Principio de Ortega estudiado
en la sección anterior a un oscilador clásico en mecánica conocido como el
columpio (swing). Este problema es clásico y útil para explicar la resonancia
paramétrica. (ver [2]) Se sabe que el ángulo del swing x(t) respecto de la
vertical satisface la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:

x′′ + (A+Bcos(θt))sen(x) = 0, (2.10)

donde l(t) := (A+B cos(θt)) > 0 representa la longitud variable del péndulo,
con A > B > 0 y θ > 0 la frecuencia del columpio.
El objetivo consiste en encontrar los parámetros apropiados A,B para que
este modelo tenga soluciones periódicas impares de péŕıodo nT, T = 2π

θ
,n ∈

N, con un número de ceros prefijado y arbitrario N0. En virtud de la teoŕıa
de comparación de Sturm, la estrategia consiste en comparar con la ecuación
linealizada en x = 0:

x′′ + (A+Bcos(θt))x = 0 (2.11)

EL sistema de primer orden asociado a esta ecuación puede escribirse como:

x′ = u

u′ = −(A+Bcos(θt))x



30 CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE ORTEGA

Sea φ(t) la solución de la ecuación linealizada (2.11) con condiciones iniciales
φ(0) = 0, φ′(0) = 1. Vamos a estimar el número de ceros de esta solución
canónica en (0, nT/2). Llamaremos a este número ν0(n).
Para aplicar el teorema de comparación de Sturm debemos encontrar un
máximo y mı́nimo de la expresión q(t) := A + Bcos(θt), el cual se puede
encontrar fácilmente dando como resultado c2 ≤ a(t) ≤ k2 con

c2 := A−B
k2 := A+B

Comencemos con la estimación de ν0(1). Aplicando el corolario del Teorema
de comparación de Sturm sabemos que dados t1, t2 ceros consecutivos de la
solución φ(t) de (2.11) entonces

π

k
< t2 − t1 <

π

c

Tomaremos t1 = 0 como cero inicial de referencia. Ahora deseamos conocer
una estimación del número de ceros en el intervalo (0, π

θ
). Si θ > k entonces

φ no se anula en el intervalo (0, π/θ); por lo tanto en este caso ν0(1) = 0. Por
otra parte si θ ∈ (c, k] entonces π

k
≤ π

θ
< π

c
por tanto no se puede asegurar

la existencia de un cero con esta metodoloǵıa.
Suponemos de acá en adelante que θ ≤ c es decir, π

θ
≥ π

c
. Comparando las

ecuaciones diferenciales:
x′′(t) + q(t)x = 0

x′′(t) + c2x = 0 (2.12)

Dado que la expresión x′′(t) + c2x = 0 representa un oscilador mas lento
entonces fijando t1 = 0 sabemos que el segundo cero de la solución de la
expresión (2.12) que inicia en t1 = 0, está exactamente en π

c
. Por otra parte,

en el intervalo (0, π
c
) existe al menos un cero de toda solución no trivial de

(2.11). Nótese que existe un entero m tal que:

mπ

c
≤ π

θ
<

(m+ 1)π

c
o

m

c
≤ 1

θ
<
m+ 1

c

m ≤ c

θ
< m+ 1



2.2. UN EJEMPLO. EL COLUMPIO 31

Por lo tanto

m :=
⌊ c
θ

⌋
(2.13)

Nótese que entre dos ceros del oscilador (2.12) existe al menos un cero del
oscilador (2.11), entonces se puede afirmar que el oscilador (2.11) tiene al
menos m ceros interiores en el intervalo (0, π

θ
). Por tanto ν0 ≥ m.

Ahora analicemos la ecuación

x′′(t) + k2x = 0 (2.14)

Dado que π
k
< π

θ
, (2.14) representa un oscilador más rápido que (2.11), en-

tonces entre dos ceros consecutivos de toda solución no trivial x(t) de (2.11)
tal que x(0) = 0 existe al menos un cero de toda solución no trivial de (2.14).
En particular si x = φ esto implica que ν0 ≥ m′ donde m′ es el número de
ceros de sin kt en el intervalo ]0, π/θ[. Este número m′ es fácil de determinar
como sigue. El primer cero positivo de la solución sin(kt) de (2.14) está exac-
tamente en π

k
. Análogamente al caso anterior sabemos que existe un entero

m′ tal que:
m′π

k
≤ π

θ
<

(m′ + 1)π

k

m′

k
≤ 1

θ
<
m′ + 1

k

m′ ≤ k

θ
< m′ + 1

Por tanto

m′ =

⌊
k

θ

⌋
En śıntesis, se puede delimitar el número de ceros interiores de φ de la si-
guiente manera:

m ≤ ν0 ≤ m′⌊ c
θ

⌋
≤ ν0 ≤

⌊
k

θ

⌋
Sustituyendo c, k se obtiene la relación⌊√

A−B
θ

⌋
≤ ν0 ≤

⌊√
A+B

θ

⌋
(2.15)



32 CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE ORTEGA

suponiendo que θ ≤
√
A−B, obteniendo aśı una estimación del número de

ceros interiores en [0, π/θ].
De manera análoga si hace el conteo en el intervalo (0, nπ/θ) con n número
natural arbitrario fijo, se obtiene para el número correspondiente ν0(n) la
estimación: ⌊

nT
√
A−B
2π

⌋
≤ ν0(n) ≤

⌊
nT
√
A+B

2π

⌋
, (2.16)

con T = 2π/θ. Con el propósito de encontrar un péndulo apropiado con
un numero arbitrario de ceros ν0(n) en el intervalo (0, nπ/ω) para la ecua-
ción (2.11), vamos a considerar los péndulos que cumplen con las siguientes
condiciones para un N0 natural fijado de antemano.

N0 − 1 <

⌊
nT
√
A−B
2π

⌋
≤ N0 ≤

⌊
nT
√
A+B

2π

⌋
< N0 + 1

Por tanto podemos decir que para un N0 arbitrario, hacemos que el columpio
cumpla con las siguientes desigualdades, que serán condiciones suficientes
para que ν0(n) = N0:

4π2(N0 − 1)2

n2T 2
< A−B ≤ 4π2N2

0

n2T 2
, (2.17)

4π2N2
0

n2T 2
< A+B <

4π2(N0 + 1)2

n2T 2
(2.18)

lo que da la regla para la determinación de las longitudes mı́nimas y máxi-
mas del columpio para obtener al menos N0 ceros en el intervalo de tiempo
(0, nπ/ω).
Ahora es necesario estudiar cuando (2.10) satisface las hipótesis del Principio
de Ortega.
Primero es necesario escribir la ecuación (2.10) en la forma (2.1), posterior-
mente debemos verificar que cumple con la simetŕıa requerida y finalmente
que la hipótesis (2.4) se satisface, es decir, que la no-linealidad de la ecuación
diferencial está acotada.
Iniciemos verificando que (2.10) cumple con (2.2)
Dado que la ecuación (2.10) no está inicialmente en la forma requerida, como
x = 0 es un factor, podemos re-escribirla del siguiente modo:

x′′ +
(A+Bcos(θt))sen(x)

x
)x = 0



2.2. UN EJEMPLO. EL COLUMPIO 33

Donde D(t, x) := A+Bcos(θt))sen(x)
x

si x 6= 0 y D(t, 0) := A+Bcos(θt)
Primero es necesario verificar que:

D(t, 0) > D(t, x), ∀x 6= 0

Esto es equivalente a mostrar que:

sen(x)

x
< 1, ∀x 6= 0

Aunque esta desigualdad es clásica, realizaremos una demostración por casos
para completar:
Sea x > 1, se puede establecer la siguiente relación:

sen(x)

x
≤ sup(sen(x))

x
=

1

x

Dado que x > 1 entonces:

sen(x)

x
≤ 1

x
< 1

Por tanto
sen(x)

x
< 1

Para x = 1 basta con verificar:

sen(1) < 1

Caso: x ∈ (0, 1) Recordemos la expansión de Taylor de la función sen(x)

sen(x) = x− x3

3!
+
x5

5!
− x7

7!
...

Aśı mismo se puede plantear la serie:

sen(x)

x
= 1− x2

3!
+
x4

5!
− x6

7!
...

Supongamos por el absurdo que sen(x)
x
≥ 1. Entonces tenemos,

sen(x)

x
= 1− x2

3!
+
x4

5!
− x6

7!
+ · · · ≥ 1



34 CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE ORTEGA

−x
2

3!
+
x4

5!
− x6

7!
+
x8

9!
+ · · · ≥ 0

Como las series convergen absolutamente entonces cualquier reordenación
convergerá al mismo ĺımite, de este modo podemos escribir:

x4

5!
+
x8

9!
+
x12

13!
+ · · · ≥ x2

3!
+
x6

7!
+
x10

11!
+ · · ·

, i.e.,

∞∑
n=1

x4n

(4n+ 1)!
≥

∞∑
n=1

x4n−2

(4n− 1)!
(2.19)

Recordando que x ∈ (0, 1) se puede observar que ambas series son comple-
tamente positivas, por tanto se puede verificar su convergencia usando el
criterio de d’Alembert:

ĺım
n→∞

|an+1

an
| = r

.
Si r < 1 la serie converge. Aplicando el criterio a ambas series de la ecuación
(2.19) se obtiene como resultado r = 0 por lo cual ambas series convergen.
Estudiemos ahora algunas caracteŕısticas de las series establecidas recordan-
do que x ∈ (0, 1), sean n,m ∈ N tal que m > n ≥ 1, se puede observar
que:

x4n

(4n+ 1)!
>

x4m

(4m+ 1)!

Aśı mismo:
x4n−2

(4n− 1)!
>

x4m−2

(4m− 1)!

Igualmente:
x(4n−2)

(4n− 1)!
>

x4n

(4n+ 1)!

Por tanto dado que ambas series son enteramente positivas y todos los ele-
mentos de la serie

∑∞
n=1

x4n−2

(4n−1)! son mayores que los de la serie
∑∞

n=1
x4n

(4n+1)!
,

por tanto:

∞∑
n=1

x4n

(4n+ 1)!
<

∞∑
n=1

x4n−2

(4n− 1)!



2.2. UN EJEMPLO. EL COLUMPIO 35

cuando x ∈ (0, 1), lo cual plantea una contradicción con (2.19). De esta

forma hemos demostrado que para todos los casos sen(x)
x

< 1, lo cual equivale
a D(t, 0) > D(t, x).
Todas estas consideraciones nos conducen al siguiente resultado que ha sido
demostrado:

Teorema 2.2.1. Sean n,N0 números naturales y supongamos en que (2.10)
0 < θ ≤

√
A−B. Supongamos que se verifican las condiciones (2.17) y

(2.18). Entonces ν0(n) = N0 y (2.10) tienen una solución 2nπ
θ

periódica
impar ϕk con ϕ̇k(0) > 0 y con k ceros en el intervalo ]0, nπ

θ
[ para k =

0, 1, ....N0 − 1 .

La solución positiva ϕ0 siempre es minimal como solución nT - periódica
impar con T = 2π/θ, pues de lo contrario se anulaŕıa antes de nT/2. Si
n = 1 las soluciones periódicas proporcionadas por el resultado anterior son
todas minimales.



36 CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE ORTEGA



Caṕıtulo 3

Oscilaciones periódicas impares
en MEMS tipo peine

En este capitulo trabajaremos brevemente algunos resultados recientes de la
aplicación del principio de Ortega a algunos MEMS electrostáticos tipo peine
[10][9], como las ecuaciones del movimiento transversal del dedo en un MEMS
tipo peine presenta singularidades, los autores en [10] proponen utilizar la
técnica de truncamiento y cotas a priori para soluciones periódicas.

Recordando la ecuación del combdrive adimensionalizada (1.10) se puede
observar que existen singularidades en x = 1 y x = −1, lo cual no permite
aplicar directamente el resultado principal del caṕıtulo anterior. Es por ello
que en [10],[9] los autores recomiendan el método de truncamiento basado en
cotas a priori para aplicar de forma exitosa el método del disparo de R. Ortega
en este tipo de dispositivos. Este caṕıtulo tiene entonces el propósito de
revisar la metodoloǵıa empleada en estos trabajos recientes para la búsqueda
de solucione periódicas impares en estos dispositivos.

A continuación estudiaremos la dinámica de un dispositivo tipo peine con
entrada de voltaje constante (ver [15] para más detalles) y revisar el concepto
de voltaje de pull in.

3.1. Análisis de equilibrio en un dispositivo

tipo peine con voltaje constante

Para una ecuación diferencial de la forma:

37



38CAPÍTULO 3. OSCILACIONES PERIÓDICAS IMPARES EN MEMS TIPO PEINE

x
′′

+ f(x) = 0

El sistema de primer orden asociado es:

x′ = y,

y′ = −f(x).

El cual tiene equilibrios de la forma (x∗, 0) y f(x∗) = 0. La linealización de
este sistema en cada equilibrio es:

u′ = v

v
′
= −f ′(x∗)u

Pues la matriz jacobiana A evaluada en el equilibrio es:

A =

[
0 1

−f ′(x) 0

]
Aśı mismo los valores propios de A pueden obtenerse de la siguiente expresión:

λ2 + f
′
(x∗) = 0

De esta manera los valores propios están dados por:

λ = ±
√
−f ′(x∗)

Por tanto si f
′
(x∗) < 0 entonces λ ∈ R por lo que podemos deducir que el

equilibrio (x∗(0)) es una silla. Por otra parte si f
′
(x∗) > 0 entonces λ son

imaginarios puros lo cual indica que el equilibrio se trata de un centro no
lineal, pues además el sistema es conservativo (esto es una excepción en el
teorema de Hartman-Grobman).
Ahora retomando la ecuación de segundo grado del comb-drive:

x
′′

+ x =
4βxv20

(1− x2)2

La podemos reescribir de forma equivalente de la forma:

x
′′

+ f(x) = 0



3.1. ANÁLISIS DE EQUILIBRIO EN UN DISPOSITIVO TIPO PEINE CON VOLTAJE CONSTANTE39

con

f(x) = x(1− (4βv20)

(1− x2)2 )

De aqúı los equilibrios se dan cuando f(x) = 0 Esto es:

x = 0

ó

1− 4βv20
(1− x2)2 = 0

Lo cual da como resultado los siguientes puntos de equilibrio:

(0, 0), (

√
1− 2

√
βv0, 0), (−

√
1− 2

√
βv0, 0)

Podemos ahora reescribir la función de la siguiente manera:

f(x) =
x

(1− x2)2 (Q(x)− 4βv2o) = g(x)(Q(x)− 4βv2o)

Defiendo:
Q(x) = (1− x2)2

Observemos el grafico de Q(x):

Del gráfico podemos observar el signo de la función Q(x) que será utilizado
más adelante para determinar el signo de f ′(x), igualmente podemos obser-
var la forma anaĺıtica de la derivada de la función Q(x) para corroborar el
resultado.

Q′(x) = 2(1− x2)(−2x)

Q′(x) = −4x(1− x2)



40CAPÍTULO 3. OSCILACIONES PERIÓDICAS IMPARES EN MEMS TIPO PEINE

Ahora analizando en (-1,1), Q’(x) es positiva para x negativa y negativa para
x positiva. Derivemos ahora f(x)

f ′(x) = g′(x)(Q(x)− 4βv2o) + g(x)Q′(x)

Ahora evaluemos en los equilibrios:

f ′(0) = g′(0)(1− 4βv2o)

Derivemos

g′(x) =
3x2 + 1

(1− x2)3
Entonces volviendo

f ′(0) = g′(0)(1− 4βv2o) = (1− 4βv2o)

Si 1−4βv2o > 0 entonces el equilibrio (0, 0) es un centro. Aśı mismo es posible
realizar un análisis similar donde bajo la condición de 1−4βv20 > 0 se cumple
que f ′(x∗) < 0 para los demás equilibrios.
Esto nos permite escribir expĺıcitamente el voltaje de pull-in que determina
el valor ĺımite del voltaje para que existan equilibrios estables dentro del
sistema, siendo este:

vpull =

√
1

4β

Llamaremos vpull al valor máximo que puede alcanzar el voltaje inicial pa-
ra que exista la estabilidad del sistema de ecuaciones descrito. Claramente

si este voltaje supera la expresión
√

1
4β

los puntos de equilibrio calculados

anteriormente dejan de existir,lo cual puede observarse con más detalle en
[15].
De esta manera hemos demostrado la existencia de tres puntos de equilibrio
para una ecuación de la forma

x′′ + x =
4βxv20

(1− x2)2

3.2. Método de truncamiento

A continuación explicamos brevemente el método de truncamiento usado
generalmente en problemas de contorno (ver [1]) y cómo utilizarlo en dispo-
sitivos tipo peine como en [10].



3.2. MÉTODO DE TRUNCAMIENTO 41

Lemma 3.2.1. ([9]) Sea x′′ = g(t, x) donde g(t, x) es es localmente Lipschitz
en x, g : R × (a, b) → R es continua. Supóngase que existen constantes
R1, R2 ∈ (a, b) con R1 < R2 tal que se verifica lo siguiente ∀t:
i) g(t, x) > 0, b > x > R2,
ii) g(t, x) < 0, a < x < R1

Entonces toda solución T -periódica x0(t) verifica que R1 ≤ x0(t) ≤ R2, ∀t
Demostración:
Supongamos que existe una solución T-periódica φ(t) tal que a < φ(t) < b
para todo t y que se cumplen todas las hipótesis del lemma.
Asumamos que a < φ(t) < R1 entonces por continuidad para algún t1 ∈ R
existe un t∗ tal que:

mint∈[0,T ]φ(t1) = φ(t∗) ≤ φ(t1) < R1

por lo tanto:
0 ≤ φ

′′
(t∗) = g(t∗, g(t∗))

Pero por hipótesis sabemos que dado que a < φ(t) < R1 entonces:

φ
′′
(t∗) = g(t∗, φ(t∗)) < 0

Lo cual contradice el enunciado anterior, y concluye que:

φ(t) ≥ R1

Ahora supongamos que R2 < φ(t) < b, por continuidad para algún t1 ∈ R
existe un t∗ tal que:

maxt∈[0,T ]φ(t1) = φ(t∗) ≥ φ(t1) > R2,

y
0 ≥ φ′′(t∗)

Pero por hipótesis:
φ
′′
(t∗) = g(t∗, φ(t∗)) >, 0

lo cual genera una contradicción, Por tanto hemos demostrado que:

R1 ≤ φ(t) ≤ R2

Usando el lemma de cotas a priori se puede utilizar el método de truncamiento
propuesto en [9], donde dada una ecuación de la forma x′′ +F (t, x) = 0, con



42CAPÍTULO 3. OSCILACIONES PERIÓDICAS IMPARES EN MEMS TIPO PEINE

F (t, x) = xD(t, x), recordando la ecuación del movimiento de los dispositivos
tipo peine estudiados (1.10) es posible estudiar sus cotas a priori utilizando
la siguiente expresión:

F (t, x) = x(1− 4βv2(t)

(1− x2)2 )

primero debemos verificar las hipótesis: F (t, x) debe ser localmente Lipschitz
en el abierto (−1, 1), debido a su simetŕıa es suficiente con probar esta hipóte-
sis en el abierto (0, 1), para lo cual se puede observar que la función deseada
en el abierto designado es diferenciable y por lo tanto localmente Lipschitz.
Ahora es necesario encontrar los valores R1, R2, donde debido a su simetŕıa
−R1 = R2 = R. Teniendo en cuenta que si R < x < 1 debe implicar
F (t, x) > 0 es necesario resolver la siguiente inecuación:

g(t, x) := −x(1− 4βv2(t)

(1− x2)2 ) > 0

donde resolviendo para x obtenemos el resultado:

|x| >
√

1− 2v(t)
√
β

Ahora dado que las cotas a priori deben ser independientes de t, recordando
que v(t) es una función continua y periódica entonces en particular tiene un
mı́nimo global vmin, y de esta forma podemos plantear la desigualdad:

|x| >
√

1− 2vmin
√
β ≥

√
1− 2v(t)

√
β

Encontrando aśı las cotas a priori:

R1 = −R2

R2 =

√
1− 2vmn

√
β+ε0

(3.1)

con ε0 > 0 y pequeño.

Construcción de la función de truncamiento

Utilizando las cotas a priori ya conocidas y utilizando la simetŕıa impar de
la función (1.10) proponemos la siguiente función impar h(x) que es una
perturbación de la identidad, y que sólo bastará definir en el eje positivo:



3.2. MÉTODO DE TRUNCAMIENTO 43

h(x) =

 x, si 0 ≤ x ≤ R

A

ecx
+ k, si x > R

(3.2)

donde definiendo de forma adecuada las constantes de la función exponencial
propuesta, de tal forma que h sea una función de clase C1, es necesario plan-
tear las siguientes condiciones. Acá R = R2 es la cota a priori del parágrafo
anterior.

R < R + ε < 1

donde ε > 0 y ε ∈ R y planteando el sistema de ecuaciones dado por h(R) = R
y h′(R) = 1:

R =
A

ecR
+R + ε

1 = −Ace−cR

es posible encontrar las constantes necesarias para la función siendo:

c =
1

ε

A = −εe 1
ε
R

y de esta manera se obtiene

h(x) =

{
x, si 0 ≤ x ≤ R

−εe 1
ε
(R−x) + (R + ε), si x > R

(3.3)

Aśı mismo podemos definir:

h∗(x) =

{
h(x), si x ≥ 0

−h(−x), si x < 0
(3.4)

Teniendo en cuenta que la función h(x) es una perturbación de la identidad,
debido a su simetŕıa puede definirse la función anterior. Aśı mismo los análi-
sis posteriores se realizaran utilizando h(x) notando que de forma análoga
podrán aplicarse también en todo R utilizando h∗(x).



44CAPÍTULO 3. OSCILACIONES PERIÓDICAS IMPARES EN MEMS TIPO PEINE

Ahora es posible mostrar que h(x)
x
≤ 1, si 0 < x ≤ R entonces h(x) = x, por

tanto h(x)
x

= 1. Si x > R es necesario analizar la derivada h′(x) = e
1
ε
(R−x),

dado que x > R entonces:

h′(x) =
1

e
1
ε
(x−R)

siendo x − R > 0, por tanto es posible observar que h′(x) es decreciente no
negativa en x > R, aśı mismo recordando que para f(x) = x, f ′(x) = 1.
Dado que por definición conocemos que h′(R) = 1 y h′(x) es decreciente no
negativa, podemos plantear: ∫ x

R

h′(x) ≤
∫ x

R

1

h(x)− h(R) ≤ x−R
h(x)−R ≤ x−R

h(x) ≤ x

De esta forma hemos demostrado que:

h(x)

x
≤ 1, ∀x > 0

Aśı mismo h(x) es de clase C1 dada su construcción y esta acotada por el
valor ε+R ya que h(x) es monotona creciente y

ĺım
x→∞

h(x) = R + ε < 1

Aśı mismo en virtud de la simetŕıa de la función (1.10) es necesario tener
en cuenta que dado que D(t, x) = D(t,−x), dado que h(x) conserva el signo
entonces se cumple aśı mismo que D(t, h(x)
Ahora recordando la función (1.10) si quisiéramos verla en la forma de Ortega
se diŕıa que:

x′′ +D(t, x)x = 0

donde D = 1 − 4βV 2(t)
(1−x2)2 , sin embargo como ya vimos al principio de esta

sección, esta función D no cumple con las hipótesis de Ortega debido a su
singularidad, es por ello que utilizando los elementos calculados en esta sec-
ción construiremos una nueva D∗ que permita realizar cálculos utilizando el
método de Ortega.



3.2. MÉTODO DE TRUNCAMIENTO 45

De esta forma definimos

x′′ + xD∗(t, h(x)) = 0 (3.5)

para ello en principio debemos plantear la ecuación truncada del modo si-
guiente:

x′′ + h∗(x)D(t, h∗(x)) = 0;

pero dado que esta ecuación no cumple con la forma de Ortega la re-escribimos
aśı:

x′′ + x(
h∗(x)D(t, h∗(x))

x
) = 0

Ahora podemos definir:

D∗(t, x) =


h∗(x)D(t, h∗(x))

x
, si x 6= 0

1− 4βV 2(t), si x = 0
(3.6)

Teniendo en cuenta que:

ĺım
x→0

h(x)D(t, h(x))

x
= 1− 4βV 2(t)

Ahora podemos finalmente plantear la ecuación truncada apropiada como:

x′′ + xD∗(t, x) = 0 (3.7)

Ahora verifiquemos que esta función cumple con las hipótesis de Ortega em-
pezando con la hipótesis:

D∗(t, x) < D∗(t, 0), ∀x ∈ R, x 6= 0

D∗(t, x) =
h(x)

x
(1− 4βv2(t)

(1− h2(x))2
)

Dado que ya hemos mostrado en la definición de h(x) que h(x)
x
≤ 1, probare-

mos que:
D(t, x) < D(t, 0), ∀x ∈ (0, 1)

1− 4βv2(t)

(1− x2)2 < 1− 4βv2(t)

− 4βv2(t)

(1− x2)2 < −4βv2(t)



46CAPÍTULO 3. OSCILACIONES PERIÓDICAS IMPARES EN MEMS TIPO PEINE

4βv2(t)

(1− x2)2 > 4βv2(t)

1

(1− x2)2 > 1

Dado que x ∈ (0, 1) entonces (1− x2)2 < 1 por tanto hemos demostrado que
dado x ∈ (0, 1) entonces:

D(t, x) < D(t, 0)

Retomando ahora la expresión:

h(x)

x
(1− 4βv2(t)

(1− h2(x))2
)

Dado que:

ĺım
x→∞

h(x) = R + ε < 1

podemos decir que h(x) ∈ (0, 1) ∀x ∈ R, x 6= 0 y aśı se cumple que:

D(t, h(x)) < D(t, 0)

recordando que h(x)
x
≤ 1 se valida que:

h(x)

x
D(t, h(x)) < D(t, 0)

si D(t, h(x)) ≥ 0. En el caso de que el signo de la última expresión sea
negativo, será obvia la desigualdad anterior pues D(t, 0) > 0 en virtud de
la condición sobre los voltajes 1 − 4βv2(t) > 0. Nótese que los argumentos
anteriores implican la desigualdad buscada para los x negativos en virtud de
las simetŕıa impar de h y la simetŕıa par en x de la D.
De esta forma hemos demostrado que:

D∗(t, x) < D∗(t, 0), ∀x ∈ R, x 6= 0

Aśı mismo como se ha hecho evidente en la construcción de la función (3.5),
se conservan las simetŕıas que ya se hab́ıan trabajado en (1.10), por tanto
solo queda demostrar que:

|xD∗(t, x)| < C, ∀x ∈ R



3.2. MÉTODO DE TRUNCAMIENTO 47

para cierta C > 0. Si x = 0 el resultado es trivial ya que D∗(t, x) esta bien
definido en x = 0 y se obtiene:

0 < C

Por otra parte si x 6= 0 entonces:

|xh(x)D(t, g(x)

x
|

|h(x)D(t, g(x))|
Por definición h(x) < R+ε y dado que ya probamos que D(t, g(x)) < D(t, 0)
en el resultado anterior es posible acotar de la siguiente manera:

|h(x)D(t, g(x))| < (R + ε)(D(t, 0))

Dado que D(t, 0) depende de t es necesario analizar:

D(t, 0) = 1− 4βv2(t)

en particular como ya sabemos que la función v(t) es continua y acotada
entonces existe un t∗ tal que v(t∗) = vmin:

1− 4βv2(t) ≤ 1− 4βv2min = D(t∗, 0)

Aśı mismo dado que D(t, 0) es positivo podemos plantear:

|h(x)D(t, g(x))| < (R + ε)(D(t∗, 0))

De esta forma hemos demostrado que:

|xD∗(t, x)| < (R + ε)D(t∗, 0) ≤ C

Aśı efectivamente la función:

x′′ + xD∗(t, x) = 0 (3.8)

cumple con todas las hipótesis de Ortega, ahora verificaremos que las cotas
a priori son las mismas que las de la ecuación (1.10), dado que la función
truncada cumple con las simetŕıas requeridas es posible realizar un análisis
similar:



48CAPÍTULO 3. OSCILACIONES PERIÓDICAS IMPARES EN MEMS TIPO PEINE

F (t, x) =
xh(x)

x
(1− 4βv2(t)

(1− h2(x))2
)

Dado x 6= 0 es necesario estudiar entonces el siguiente signo:

−h(x)(1− 4βv2(t)

(1− h2(x))2
) > 0

Despejando h(x)

|h(x)| >
√

1− 2v(t)
√
β

utilizando vmin planteamos:

|h(x)| >
√

1− 2vmin
√
β ≥

√
1− 2v(t)

√
β,

Como por construcción h(x) ≥ R2 si x ≥ R2 entonces obtenemos las mismas
cotas a priori que la ecuación ooriginal:

R1 = −R2

R2 =

√
1− 2vmin

√
β + ε0

Aśı hemos mostrado que la ecuación truncada (3.8) cumple con todas las
hipótesis de Ortega y tiene las mismas cotas a priori que la ecuación (1.10),
por tanto podemos ahora aplicar el método de Ortega para obtener resultados
sobre la ecuación truncada de esta forma garantizando que las soluciones
periódicas impares obtenidas son las mismas soluciones de la ecuación MEMS
original.
Como ya sabemos que la ecuación (3.8) cumple con las hipótesis de Ortega
entonces es posible aplicar los resultados del principio de Ortega descrito en
el capitulo anterior. Para ello trataremos la ecuación truncada que hemos
planteado como la ecuación:

z′′ +D∗(t, z)z = 0

En particular recordemos la función número de ceros ν(f) : C1[a, b] → N
donde n(f) es el número de ceros de f en (a, b). Las proposiciones de Ortega
definen ν0 como el número de ceros internos en el intervalo (0, L) de la solu-
ción φ(t) con condiciones iniciales z = 0, z′(0) = 1. Donde φ(t) es la solución
de la ecuación z′′ +D(t, z)z = 0 linealizada en z = 0.



3.2. MÉTODO DE TRUNCAMIENTO 49

Linealizando la ecuación (3.8), obtenemos:

x′′ + x(1− 4βv2(t)) = 0

que es la ecuación (1.11) que estudiamos en el capitulo 1. Recordando la
expresión (1.17), podemos delimitar ν0 utilizando las propiedades f́ısicas del
dispositivo usando la siguiente expresión:⌊√

1− 4β(V0 + δ)2

ω

⌋
≤ ν0 ≤

⌊√
1− 4β(V0 − δ)2

ω

⌋

Aśı mismo gracias al teorema 2.1.5 sabemos que un problema que satisfaga
las condiciones de Ortega tiene una solución periódica con N ≥ 0 ceros en
(0, L) cuando z(0) = z(L) = 0 y aśı mismo N < ν0.
De esta forma para la ecuación (3.8) sabemos que dado que el número de
ceros N de cualquier solución periódica impar esta acotado por ν0:

N < ν0

Sea N0 un numero natural. Queremos ajustar los parámetros del dispositivo
para obtener soluciones mT -periódicas impares con oscilación prescrita por
debajo de N0. Para ello usaremos la estimación de ν0 dada arriba. La esti-
mación de arriba es válida par peŕıodo mT con m natural, en cuyo caso la
frecuecia w cambia por mT/2π.
Su forzamos a la desigualdad anterior de estimación de ν0 a estar acotada por
abajo por N0 y por arriba por N0 + 1 podremos obtener condiciones sencillas
de ajuste para que ν0 sea o N0 o N0 + 1m lo que dá un intervalo cerrado pera
los voltajes máximos y mı́nimos (ver el siguiente Corolario).
Más espećıficamente tendremos la siguiente condición:

vmax, vmin ∈ [

√
1− (N0 + 1)2ω2

m

4β
,

√
1−N2

0ω
2
m

4β
],

donde ωMm = 2mπ
T

donde impondremos también que

1− (N0 + 1)2ω2
m > 0.

Hemos probado entonces el siguiente resultado central del art́ıculo [9] y su
versión práctica que permite estimar ν0(m).



50CAPÍTULO 3. OSCILACIONES PERIÓDICAS IMPARES EN MEMS TIPO PEINE

Teorema 3.2.2. Sean N, ν0 números naturales y supongamos en que (1.10)
1 − 4βv2(t) > 0. Aśı mismo para (3.8) se verifican las condiciones (??),
(??). Entonces mν0(n) = mν0 y (1.10) tiene una solución 2mπ

ωM
periódica

impar ϕk(0) > 0 y con k ceros en el intervalo (0, mπ
ωM

para k = 0, 1, ...ν0 − 1.

Aśı mismo como ya se ha planteado en la pagina 5 del art́ıculo [9], obtenemos
el siguiente resultado:

Corolario 3.2.2.1. Dada la ecuación (1.10) donde v(t) <
√

1
4β
, ∀t ∈ R para

L = mT
2π

, con m natural. Sea N0 un número natural mayor a 2.

Asumir que T > 2π(N0+1)
m

y además

vmax, vmin ∈ [

√
1− (N0 + 1)2ω2

4β
,

√
1−N2

0ω
2

4β
]

Entonces ν0 = N0 o ν0 = N0+1. Aśı mismo la ecuación (1.10) tiene una solu-
ción mT -periódica impar con k ceros en (0, mT

2
) para cada k = 0, 1, ..., N0−1



Caṕıtulo 4

Simulaciones y resultados
numéricos

A continuación utilizaremos el método descrito en los caṕıtulos anteriores,
recordemos que la ecuación (1.10) y aśı mismo las propiedades del dispositivo:

1− 4βv2(t) > 0

y

L :=
mT

2

Utilizando el corolario 3.2.2.1 podemos encontrar los parámetros de control
N0, aśı como la relación de β, la frecuencia y los voltajes. Finalmente utili-
zando el truncamiento (3.4) podemos satisfacer las hipótesis de Ortega para
aśı computar de forma apropiada las ecuaciones de los siguientes dispositivos.
De esta manera proponemos el siguiente procedimiento para aplicar el méto-
do de Ortega en un dispositivo MEMS lineal tipo peine.
Consideremos la función truncada (3.4) asociada a (1.10), dado que como
hemos visto, esta ecuación satisface las condiciones de Ortega como hemos
visto en secciones anteriores, de esta manera a continuación ilustramos el
procedimiento del método de Ortega.

Procedimiento

Sea ν(v) la función número de ceros asociada a la ecuaciónn truncada equi-
valente(3.4), sean m,N0 valores fijos como los plantea el teorema 3.2.2. Por

51



52 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES Y RESULTADOS NUMÉRICOS

tanto sabemos que existen las siguientes velocidades reales positivas

vel0, vel1, ..., veln0−1

tal que f(mT
2
, veln) = 0 y ν(veln) = N , para n = 0, ..., N0 − 1 entonces

existe un δN > 0 tal que ν(v) = N + 1 ∀v ∈ [velN − δN , velN) y ν(v) = N,
∀v ∈ (velN , velN + δN ]. En otras palabras ν(vel) es una función constante
localmente en una vecindad y cambia mediante saltos de valor exactamente
1. Aśı mismo estos saltos ocurren exactamente en velN .

Tengamos en cuenta que inicialmente no conocemos una estimación de las
velocidades cŕıticas velN ni tampoco la extensión de la vecindad δN . Por
ello el proceso que realizaremos es buscar obtener una estimación de velN
encontrando algún valor perteneciente a la vecindad [velN , velN + δN ] una
vez obtenido este representante podemos utilizar un método de aproximación
para precisar a un valor lo más cercano posible a velN como explicaremos a
continuación.

Procedimiento de aproximación de la velocidad cŕıtica

Dada la estructura escalonada de la función ν(v) entonces cualquier v ∈
[velN , velN + δN ] satisface nu(v) = N , aśı mismo de acuerdo al teorema
2.1.5 sabemos que resolviendo el sistema de condiciones iniciales (3.4) con
x = 0 y x′ = velN obtenemos una solución F (t), donde F (L) = 0. Por
tanto definamos un paso p, tal que p < |[velN , velN + δN ]|. Sea v(c), v(c+ p),
v(c−p) candidatos, ahora seleccionamos la dirección apropiada seleccionando
el candidato que genera la solución tal que |F (Lc)| se acerca más a 0. De forma
iterativa seleccionamos nuevos candidatos hasta encontrar uno que cumpla
con los niveles de tolerancia, en caso que ν(vc) 6= N y vc 6= velN entonces
pnuevo = c−panterior

2
.

Iteración

Ahora debemos realizar el mismo procedimiento anterior para todos los N
para encontrar de esta manera todos las velocidades cŕıticas, una vez hemos
encontrado las velocidades cŕıticas tenemos todas las soluciones periódicas
impares de la ecuación trabajada.



4.1. DISPOSITIVO 1 53

4.1. Dispositivo 1

Para un dispositivo con los siguientes parámetros: N0 = 4, m = 1, β =
4.427× 10−3 V−2, ω = 0,1, v0 = 6.697 684 163 705 222 V, δ = 0.189 709 177 328 008 V.

Este sistema presenta soluciones periódicas impares con 0, 1, 2, 3 ceros inte-
riores y sus velocidades cŕıticas respectivamente:

0 5 10 15 20 25 30

t

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

x
0
(t

)

(a) N = 0.

0 5 10 15 20 25 30

t

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

x
1
(t

)

(b) N = 1.

0 5 10 15 20 25 30

t

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

x
2
(t

)

(c) N = 2.

0 5 10 15 20 25 30

t

−0.20

−0.15

−0.10

−0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

x
3
(t

)

(d) N = 3.

Figura 4.1: Gráfica de las soluciones periódicas impares obtenidas para el
Caso 1 por individual (intervalo [0, T ]).



54 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES Y RESULTADOS NUMÉRICOS

Vcrit(0) 0.085457647566
Vcrit(1) 0.085456604074
Vcrit(2) 0.085256195538
Vcrit(3) 0.070645424958

4.2. Dispositivo 2

Para un dispositivo con los siguientes parámetros: N0 = 2, m = 3, β =
4.427× 10−3 V−2, ω = 0,9, v0 = 4.643 709 343 412 434 V, δ = 0.751 073 636 730 917 4 V.

0 2 4 6 8 10

t

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

x
0
(t

)

(a) N = 0.

0 2 4 6 8 10

t

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

x
1
(t

)

(b) N = 1.

Figura 4.2: Gráfica de las soluciones periódicas impares obtenidas para el
Caso 2 por individual (intervalo [0, T ]).

Vcrit(0) 0.3654980555008
Vcrit(1) 0.2303360965225

4.3. Dispositivo 3

Para un dispositivo con los siguientes parámetros: N0 = 3, m = 2, β =
4.427× 10−3 V−2, ω = 0,4, v0 = 5.260 333 554 4 V, δ = 0.751 476 222 05 V.



4.4. REVISIÓN DE RESULTADOS 55

0 2 4 6 8 10 12 14 16

t

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x
0
(t

)

(a) N = 0.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

t

−0.6

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

x
1
(t

)

(b) N = 1.

0 2 4 6 8 10 12 14 16

t

−0.3

−0.2

−0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x
2
(t

)

(c) N = 2.

Figura 4.3: Gráfica de las soluciones periódicas impares obtenidas para el
Caso 3 por individual (intervalo [0, T ]).

Vcrit(0) 0.0.2381666719
Vcrit(1) 0.237181518411
Vcrit(2) 0.210091503921

4.4. Revisión de resultados

En los distintos modelos de los dispositivos se puede observar en sus gráficas
de soluciones periódicas impares, la no linealidad de la ecuación diferencial



56 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES Y RESULTADOS NUMÉRICOS

(1.10), aśı mismo se observa que a mayor velocidad inicial usada en el méto-
do del disparo, se obtiene un menor número de ceros, aśı mismo existe una
familia de soluciones con cantidad de ceros prescrita. Sin embargo, gracias a
las adaptaciones de los principios de Ortega que se han revisado de la litera-
tura reciente y desarrollado en detalle en este trabajo, es posible determinar
que existen soluciones mT -periódicas impares, estudiando el problema de
contorno en medio peŕıodo x(0) = x(mT/2) = 0.
Con los resultados actuales no se conocen propiedades de estabilidad de las
soluciones, sin embargo [9] estudia la estabilidad de las soluciones desde el
punto de vista numérico. Las simulaciones concuerdan muy bien con los re-
sultados teóricos enunciados al final del caṕıtulo 3 y demostrados a lo largo
del mismo.



Conclusiones

Es posible aplicar el principio de Ortega en osciladores MEMS tipo
peine, y de esta manera encontrar soluciones periódicas impares para
el movimiento transversales del peine de un dispositivos micro electro
mecánico tipo comb-drive. Para ello debe realizarse un proceso de trun-
camiento que garantiza las condiciones propuestas por los principios de
R. Ortega.

El método de Ortega es válido para distintos tipos de osciladores con
simetŕıa y condiciones apropiadas, no solo es posible aplicarlo en el
estudio de los cuerpos celestes, sino que también tiene aplicación en
dispositivos f́ısicos tales como el péndulo de longitud variable y los
MEMS.

El método de Ortega requiere un alto nivel de precisión en los me-
canismos de cálculo ya que, a pesar que la función para contar ceros
interiores solo requiere un mallado apropiado para las soluciones, se re-
quiere una precisión bastante alta para determinar cuando se considera
que una solución es la solución periódica impar (se requiere una tole-
rancia pequeña para determinar cuando x(L) = 0.) Consideramos que
pueden existir futuras investigaciones para precisar con menor costo
computacional cuando una solución es la deseada. Acá se ha afinado la
solución periódica detectando el cambio del número de ceros internos
en medio peŕıodo manejando una tolerancia, con la velocidad inicial
del disparo.

La teoŕıa de comparación de Sturm permite estudiar el sistema lineali-
zado de la ecuación de movimiento de dispositivos micro-electro mecáni-
cos, y es posible también aplicarla para inferir propiedades del sistema
no lineal. Sin embargo a pesar de que es posible acotar y obtener al-
gunas caracteŕısticas de la solución tal como una cota superior para el

57



58 CAPÍTULO 4. SIMULACIONES Y RESULTADOS NUMÉRICOS

número de ceros, se hace necesario un principio variacional de mı́nima
enerǵıa cinética en el modelo no lineal para encontrar soluciones pe-
riódicas impares. Es importante destacar la forma muy asimétrica y no
lineal de las soluciones impares en medio peŕıodo para el modelo MEMS
estudiado. Ajustando entonces adecuadamente los voltajes DC y la am-
plitud AC δ es posible obtener una respuesta periódica con oscilación
prescrita. Sin embargo no sabemos nada sobre la estabilidad de dichas
repsuestas periódicas simétricas. Finalmente, el balance muestra que se
han cumplido con los objetivos del proyecto y más aún se han revisado
y desarrollado en detalles extensiones de la literatura reciente sobre los
principio de R. Ortega para un dispositivo micro-electromecánico tipo
peine lineal.



Bibliograf́ıa

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	Planteamiento del problema
	Fundamentos Teóricos
	Teorema de Sturm
	Conclusiones directas del teorema de Sturm
	Conteo de ceros para dispositivos tipo peine


	Principio de Ortega
	Proposiciones de R. Ortega
	Un ejemplo. El columpio

	Oscilaciones periódicas impares en MEMS tipo peine
	Análisis de equilibrio en un dispositivo tipo peine con voltaje constante
	Método de truncamiento

	Simulaciones y resultados numéricos
	Dispositivo 1
	Dispositivo 2
	Dispositivo 3
	Revisión de resultados