Soluciones periódicas en modelos de crecimiento poblacional
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Date
2019
Authors
Director
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Publisher
Pontificia Universidad Javeriana Cali
Abstract
Este trabajo de tesis presenta un breve recorrido por la interesante y extensa teoría de las desigualdades diferenciales junto con algunas de sus aplicaciones al problema de existencia y multiplicidad de soluciones del problema de contorno:
A) Estudio analítico del problema de existencia, multiplicidad y estabilidad de soluciones periódicas para diversos modelos de crecimiento poblacional bajo los efectos de recolección periódica o estimulación periódica. Se analiza la existencia, multiplicidad y estabilidad de soluciones a problemas de contorno de la forma ẋ = g(t, x) ± h(t, x), x(0) = x(T), donde h ∈ C1(R2) es una función positiva y T-periódica en la variable t, g es una función de crecimiento poblacional y T es un período fijo. Se consideran dos casos específicos: una función de crecimiento logístico generalizado y una extensión del modelo propuesto por Ossandón y Santis para poblaciones con inmigraciones denso-dependientes.
B)Deducción y análisis cualitativo de un nuevo modelo para el estudio de la propagación de una acción simple en una población grande de individuos. El modelo está representado por la ecuación diferencial Ṗ = 1 − P e(t) + i(t) P − 1 P, donde P = P(t) es la proporción de individuos que han realizado la acción, e = e(t) mide los estímulos externos, i = i(t) mide la tendencia a imitar y N determina un valor umbral de los efectos de tipo Allee. El análisis cualitativo muestra que, bajo ciertas condiciones, existen al menos dos soluciones periódicas no triviales, lo que simularía un comportamiento recurrente en el número de individuos que realizan la acción.
Description
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This thesis work presents a brief overview of the interesting and extensive theory of differential inequalities along with some of its applications to the problem of existence and multiplicity of solutions of boundary value problems:
A) Analytical study of the problem of existence, multiplicity and stability of periodic solutions for various population growth models under the effects of periodic collection or periodic stimulation. The existence, multiplicity and stability of solutions to boundary value problems of the form ẋ = g(t, x) ± h(t, x), x(0) = x(T), where h ∈ C1(R2) is a positive and T-periodic function in the variable t, g is a population growth function and T is a fixed period, are analyzed. Two specific cases are considered: a generalized logistic growth function and an extension of the model proposed by Ossandón and Santis for populations with density-dependent immigration.
B) Deduction and qualitative analysis of a new model for the study of the propagation of a simple action in a large population of individuals. The model is represented by the differential equation Ṗ = 1 − P e(t) + i(t) P − 1 P, where P = P(t) is the proportion of individuals who have performed the action, e = e(t) measures the external stimuli, i = i(t) measures the tendency to imitate and N determines a threshold value of Allee-type effects. The qualitative analysis shows that, under certain conditions, there exist at least two non-trivial periodic solutions, which would simulate a recurrent behavior in the number of individuals performing the action.
Keywords
Modelos de crecimiento poblacional, Análisis de soluciones periódicas, Estudio del comportamiento cualitativo, Population growth models, Periodic solutions analysis, Qualitative behavior study