Implementación de un algoritmo para calcular la distancia B-aparente de códigos abelianos bivariados
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Date
2022
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Publisher
Pontificia Universidad Javeriana Cali
Abstract
Este proyecto se centra en la implementación de un algoritmo para calcular la distancia B-aparente de códigos abelianos bivariados. La Teoría de la Información, introducida por C. E. Shannon, es aplicada en contextos donde un mensaje es transmitido desde un emisor, a través de un canal de comunicación, hasta un receptor. Dentro de esta teoría, la Teoría de Códigos Correctores de Errores busca códigos óptimos que tengan una longitud corta, un número de palabras suficientemente grande y alta capacidad de corrección de errores. Aunque no es posible optimizar estos parámetros simultáneamente, los códigos cíclicos y abelianos son de gran interés debido a su estructura eficiente para métodos de codificación y decodificación. La eficiencia de estos métodos depende del cálculo de la distancia mínima del código. Bernal, Bueno-Carreño y Simón introdujeron las distancias aparente mínima y aparente fuerte mínima, y presentaron un algoritmo para su cálculo en códigos abelianos multivariados. Posteriormente, Bueno-Carreño y Medina implementaron este algoritmo en SageMath, mostrando que es posible reducir las operaciones necesarias para calcular la distancia en códigos abelianos bivariados. Bernal, Guerreiro y Simón desarrollaron una técnica para extender cotas para la distancia mínima de códigos cíclicos a códigos abelianos mediante la distancia B-aparente. Este trabajo implementa en un sistema algebraico computacional el algoritmo que calcula la distancia B-aparente en códigos abelianos bivariados, adaptando las técnicas utilizadas previamente. La implementación amplía la biblioteca de métodos en la Teoría de Códigos, especialmente en el cálculo de cotas para la distancia mínima de un código.
Description
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This project focuses on the implementation of an algorithm to calculate the B-apparent distance of bivariate Abelian codes. Information Theory, introduced by C. E. Shannon, is applied in contexts where a message is transmitted from a sender, through a communication channel, to a receiver. Within this theory, Error Correcting Code Theory seeks optimal codes that have short length, a sufficiently large number of codewords, and high error-correcting capability. Although it is not possible to optimize these parameters simultaneously, cyclic and Abelian codes are of great interest due to their efficient structure for coding and decoding methods. The efficiency of these methods depends on the calculation of the code's minimum distance. Bernal, Bueno-Carreño, and Simón introduced the concepts of apparent minimum distance and strong apparent minimum distance and presented an algorithm for their calculation in multivariate Abelian codes. Later, Bueno-Carreño and Medina implemented this algorithm in SageMath, showing that it is possible to significantly reduce the operations needed to calculate the distance in bivariate Abelian codes. Bernal, Guerreiro, and Simón developed a technique to extend bounds for the minimum distance of cyclic codes to Abelian codes through the B-apparent distance. This work implements in a computational algebra system the algorithm that calculates the B-apparent distance in bivariate Abelian codes, adapting previously used techniques. The implementation extends the library of methods available in Coding Theory, particularly in calculating bounds for a code's minimum distance.
Keywords
Cálculo de distancia B-aparente, Códigos correctores de errores, Códigos abelianos bivariados, B-apparent distance calculation, Error correcting codes, Bivariate Abelian codes