Existencia de soluciones periódicas para una extensión del modelo de palomba
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Date
2018
Authors
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Publisher
Pontificia Universidad Javeriana Cali
Abstract
En 1939, el economista italiano G. Palomba [1] propuso el siguiente modelo tipo Lotka-Volterra de presa-depredador con αi , βi , i = 1, 2, constantes positivas, para estudiar un sistema económico donde existen únicamente dos tipos de bienes: bienes de consumo, cuyas cantidades están dadas por la variable C1 = C1(τ), y bienes de capital, cuyas cantidades están dadas por la variable C2 = C2(τ). Siguiendo el tratamiento matemático y gráfico desarrollado en [2], G. Palomba demostró el comportamiento oscilatorio (ciclos económicos) de las cantidades de cada bien en su modelo. Con el propósito de expandir las ideas encontradas en [1], esta propuesta de trabajo introduce una variación del modelo al considerar un incremento exógeno y periódico de las tasas de producción de los bienes de capital, así como un efecto negativo del aumento de las cantidades de bienes de consumo en la tasa de producción de los bienes de capital. De manera más precisa, consideramos el sistema donde µ, k, b son constantes no negativas y h(ωτ) es una función periódica que simula el efecto neto y exógeno de temporadas con tasas de producción mayores y/o menores de bienes de capital. Mediante el método de sub y super-soluciones, se investiga la existencia y/o unicidad de soluciones periódicas para el sistema (2), las cuales, al igual que en el modelo de Palomba, representan un comportamiento oscilatorio de los bienes de consumo y de capital.
Description
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In 1939 Italian economist G. Palomba [1] proposes the following model Lotka-Volterra predator prey type with αi , βi , i = 1, 2, positive constants, to study an economic system where there are only two types of goods, consumer goods whose quantities are given by the variable C1 = C1(τ ) and the capital goods whose quantities are given by the variable C2 = C2(τ ). Following the mathematical and graphical treatment developed in [2], G. Palomba proved the oscillatory behavior (economic cycles) of the quantities of each good in his model. With the purpose of developing a little more the ideas found in [1], this document proposes a variation of said model when considering an exogenous and periodic increase in production rates of capital goods and a negative effect due to the increase of the quantities of consumer goods in the rate of production of capital goods. More precisely, we consider the system where µ, k b are negative constants and h(ωτ ) is a periodic function that simulates the net and exogenous effect of seasons of higher and / or smaller production rate of capital goods. The Lower and Upper -solutions Method allow us to prove the existence and uniqueness of periodic solutions for the system (2), which, as in the Palomba model, represent an oscillatory behavior of consumer and capital goods.
Keywords
Economic growth model, Palomba's Model, Periodic Solutions, Upper, Lower solutions method